4 首播（3）
范珏打开一看，是一道很经典的几何题：如图，三角形ABC中，AB=AC，E在AB上，D在AC上，∠BAC=20°，∠DBC=60°，∠ECB=50°，求∠EDB。贴吧经常有人拿这道题来钓鱼，为了装B，他链接上了一个手写板，开始做题。
“给你提供8种方法啊，这道题曾经被大师彭翕成专门写文章分析过，很有意思的一道题。我抽的这本书里好像有，但是我忘掉在那一页了，凭借记忆我来复述一下啊。”
范珏首先画上了一个三角形，把点标明白，把条件标在图上。边说边写，“解法1，直接利用正弦定理，我们得先找到一些关系，角BAC是20度，那么角ABC就是80度，角ECB和角BCE都是50度，也就是说BC=BE。”
范珏用红线描出BC和BE。
“然后我们就利用正弦定理，设角EDB=x啊，sin(160-x)/sin(x)=BD/BE=BD/BD=sin80/sin40，式子列出来了，一个等式一个未知数，解得x=30，旁边写个草稿给你们看看30是怎么解出来的。”
在第一种解法旁边，范珏划拉出一个小地方，写上过程，sin(20+x)=2cos40sinx，然后往下推导，sin20cosx+cos20sinx=2(cos60cos20+sin60sin20)sinx，cos20sinx项抵消，剩下sin20cosx=2sin20sin60sinx，约掉sin20，剩下tanx=3^(-1/2)，x=30。
“第二个方法是沿D做一条BC的平行线，交AB于F，连接FC，交BD于G，再连接GE。构造出三个等边三角形。”
范珏描出第一个等边三角形。
“非常显然，三角形BCG是一个等腰三角形，然后角DBC是60度，所以三角形BCG是一个等边三角形，就有BE=BC=EG。”
范珏描出第二个等边三角形。
“三角形BFG是个等腰三角形，可以得知角EFG是150度。”
“同时，三角形BCE是个等腰三角形，我们可以得出角CFE是15度，也就是说三角形EFG等腰，EF=EG。”
“三角形BCG等边，三角形DFG和他相似”
第三个等边三角形。
“所以有DF=DG，四边形DFEG是筝形，DE平分角FDG，得出角EDB=1/2角FDB=30度。”
“第三个方法是沿D做一条BC的平行线，交AB于F，连接FC，交BD于G，再过B做AC的平行线交DF于H，连接EH。构造平行四边形”
范珏把辅助线用虚线连上，再用蓝色笔勾勒出了大平行四边形。再用红笔点出了E点，分别把它和三个角的连线用绿色笔强调。
“里面的构造和第二问是差不多的，我们可以直接用第二问的结论，BE=BC=BG，BH=CD，角EBD=80-60=20度，角EBH=角BDC-角EBD=20度，BE平分角HBD，由角边角，三角形HEB全等于三角形DGC。”
“角BHE=角GDC=40度，角BHD=角DBC=80度，HE平分角BHD，所以得出E点是三角形BDH的内心，也就是三条角平分线的交点，ED平分角FDG，角EDB=30度。”
“第四个方法是在AC上取点K使得角KBC=20度。连接BK，EK。构建出一堆等腰，这个方法可以说是神来之笔，既简洁又简单。”
“三角形ABC相似于三角形BCK，两个都是等腰三角形，BC=BK=BE，角EBK=角EBC-角KBC=60度，三角形BEK为等边三角形。”
“这时候边的关系我们差不多已经梳理完了，把角标上就可以做出来了。”
“那么角EKD=40度，角BDC=180-60-80=40度，角DBK=80-20-20=40度，BK=DK，三角形DKE是等腰三角形，角EDK=(180-40)/2=70度，角EDB=角EDK-角BDK=70-40=30度。”
“下面的东西就难一点了，要用到数学竞赛的想法，我高中时候是搞计算机竞赛的，数竞的东西了解得不多。”
“第五个方法是做E关于CD的对称点H，连接DH，BH，CH。”
“角DCE=80-50=30度，对称过去之后，EC=CH，角ECD=角DCH=30度，角ECH=60度，也就是说三角形ECH为等边三角形。”
“EH=CH，又有BE=BC，四边形BDHE是筝形，BH平分角EHC，则有角DBH=角EBH-角EBD=80/2-20=20度，角DBE=角DBH，B，E，D，H四点共圆。”
范珏描摹出一个圆弧。
“所以角EDB=角EHB=60/2=30度。”
“第六个方法是做角EBC的角平分线交AC于T，连接ET。”
“这个方法比刚才的方法还要抽象一点，主要想法是构造旁心。”
“角EBT=80/2=40度，角EBD=20度，那么有BD平分角EBT，由于BE=BC，边角边，三角形EBT全等于三角形CBT，角ETB=角BTC=180-40-80=60度，角ETD=80度，那么延长一下就可以知道DT是角ETB的外角平分线，所以说D是三角形BET的旁心。”
范珏描出外角平分线的小圆。
“ED平分角AET，角AED=1/2*(180-80)=50度，角EDB=50-20=30度。”
“旁心用了之后，我们自然可以想到用外心，但是这个方法比较极限比较勉强。”
“第七个方法是找出三角形CDE的外心O，连接OE，OD，OB。”
“由外心的性质有OE=OD，由于角ECD=30度，角EOD=60度，三角形OED是等边三角形，OE=OD=ED。”
“下面一步比较玄乎，懂得自然懂，不懂的自己刷6。”
“D在OE中垂线上，BD平分角EOB，如果B不在EO中垂线上，那么EOBD四点共圆，但是角EBO+角EDO=40+60!=180，也就是说这4点不共圆，也就是说B在OE的中垂线上，所以BD就是OE的中垂线，BD平分角ODE，角EDB=1/2角ODE=30度。”
“最后一个方法想的是往外扩展，辅助线比较大气，也比较漂亮，看得也舒服。”
“第八个方法是作C关于AB的对称点F，B关于AC的对称点G，连接三角形AFG，连接EF，DG。构造一个大等边三角形。”
“由于对称的性质，AB=AC=AF=AG，然后角FAG=3*角BAC=60度，三角形AFG是等边三角形。”
“然后我们来想办法证明DEF三点共线。首先，角BFG=角AFB-角AFG=80-60=20度，角EFG=角EFB-角BFG=50-20=30度，即EF平分角AFG。然后再由对称的性质，DG=DB=DA，由等边三角形的性质可知D也在角AFG的中垂线上，那么我们就得到了FED三点共线，角EDB=角FEB-角EBD=角FAE+角AFD-角EBD=20+30-20=30度。”
“完了兄弟们，讲了道题贵宾跑了一半，一看时间一个小时已经过去了，下次不讲了兄弟们。”范珏停笔，拿起水杯。
“别”“就讲这个大家爱看”“再来一节课的”“666666”弹幕都表现出了极高的学习热情。
中奖的兄弟刷了一个告白灯牌上面写着“NB”。
“谢谢兄弟的告白灯牌……这样吧，这本书还是寄给你，这道题算我数学SOLO赢你怎么说，之前定的是SOLO赢我得500，现在只剩一个小时了。这样吧，想打SOLO的加我游戏好友，我拿元歌你随便，地图你挑，你赢了我给你1000，我赢了你给我送个6块钱的血瓶怎么说，我按照段位高低选，优先选厉害的。”
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“给你提供8种方法啊，这道题曾经被大师彭翕成专门写文章分析过，很有意思的一道题。我抽的这本书里好像有，但是我忘掉在那一页了，凭借记忆我来复述一下啊。”
范珏首先画上了一个三角形，把点标明白，把条件标在图上。边说边写，“解法1，直接利用正弦定理，我们得先找到一些关系，角BAC是20度，那么角ABC就是80度，角ECB和角BCE都是50度，也就是说BC=BE。”
范珏用红线描出BC和BE。
“然后我们就利用正弦定理，设角EDB=x啊，sin(160-x)/sin(x)=BD/BE=BD/BD=sin80/sin40，式子列出来了，一个等式一个未知数，解得x=30，旁边写个草稿给你们看看30是怎么解出来的。”
在第一种解法旁边，范珏划拉出一个小地方，写上过程，sin(20+x)=2cos40sinx，然后往下推导，sin20cosx+cos20sinx=2(cos60cos20+sin60sin20)sinx，cos20sinx项抵消，剩下sin20cosx=2sin20sin60sinx，约掉sin20，剩下tanx=3^(-1/2)，x=30。
“第二个方法是沿D做一条BC的平行线，交AB于F，连接FC，交BD于G，再连接GE。构造出三个等边三角形。”
范珏描出第一个等边三角形。
“非常显然，三角形BCG是一个等腰三角形，然后角DBC是60度，所以三角形BCG是一个等边三角形，就有BE=BC=EG。”
范珏描出第二个等边三角形。
“三角形BFG是个等腰三角形，可以得知角EFG是150度。”
“同时，三角形BCE是个等腰三角形，我们可以得出角CFE是15度，也就是说三角形EFG等腰，EF=EG。”
“三角形BCG等边，三角形DFG和他相似”
第三个等边三角形。
“所以有DF=DG，四边形DFEG是筝形，DE平分角FDG，得出角EDB=1/2角FDB=30度。”
“第三个方法是沿D做一条BC的平行线，交AB于F，连接FC，交BD于G，再过B做AC的平行线交DF于H，连接EH。构造平行四边形”
范珏把辅助线用虚线连上，再用蓝色笔勾勒出了大平行四边形。再用红笔点出了E点，分别把它和三个角的连线用绿色笔强调。
“里面的构造和第二问是差不多的，我们可以直接用第二问的结论，BE=BC=BG，BH=CD，角EBD=80-60=20度，角EBH=角BDC-角EBD=20度，BE平分角HBD，由角边角，三角形HEB全等于三角形DGC。”
“角BHE=角GDC=40度，角BHD=角DBC=80度，HE平分角BHD，所以得出E点是三角形BDH的内心，也就是三条角平分线的交点，ED平分角FDG，角EDB=30度。”
“第四个方法是在AC上取点K使得角KBC=20度。连接BK，EK。构建出一堆等腰，这个方法可以说是神来之笔，既简洁又简单。”
“三角形ABC相似于三角形BCK，两个都是等腰三角形，BC=BK=BE，角EBK=角EBC-角KBC=60度，三角形BEK为等边三角形。”
“这时候边的关系我们差不多已经梳理完了，把角标上就可以做出来了。”
“那么角EKD=40度，角BDC=180-60-80=40度，角DBK=80-20-20=40度，BK=DK，三角形DKE是等腰三角形，角EDK=(180-40)/2=70度，角EDB=角EDK-角BDK=70-40=30度。”
“下面的东西就难一点了，要用到数学竞赛的想法，我高中时候是搞计算机竞赛的，数竞的东西了解得不多。”
“第五个方法是做E关于CD的对称点H，连接DH，BH，CH。”
“角DCE=80-50=30度，对称过去之后，EC=CH，角ECD=角DCH=30度，角ECH=60度，也就是说三角形ECH为等边三角形。”
“EH=CH，又有BE=BC，四边形BDHE是筝形，BH平分角EHC，则有角DBH=角EBH-角EBD=80/2-20=20度，角DBE=角DBH，B，E，D，H四点共圆。”
范珏描摹出一个圆弧。
“所以角EDB=角EHB=60/2=30度。”
“第六个方法是做角EBC的角平分线交AC于T，连接ET。”
“这个方法比刚才的方法还要抽象一点，主要想法是构造旁心。”
“角EBT=80/2=40度，角EBD=20度，那么有BD平分角EBT，由于BE=BC，边角边，三角形EBT全等于三角形CBT，角ETB=角BTC=180-40-80=60度，角ETD=80度，那么延长一下就可以知道DT是角ETB的外角平分线，所以说D是三角形BET的旁心。”
范珏描出外角平分线的小圆。
“ED平分角AET，角AED=1/2*(180-80)=50度，角EDB=50-20=30度。”
“旁心用了之后，我们自然可以想到用外心，但是这个方法比较极限比较勉强。”
“第七个方法是找出三角形CDE的外心O，连接OE，OD，OB。”
“由外心的性质有OE=OD，由于角ECD=30度，角EOD=60度，三角形OED是等边三角形，OE=OD=ED。”
“下面一步比较玄乎，懂得自然懂，不懂的自己刷6。”
“D在OE中垂线上，BD平分角EOB，如果B不在EO中垂线上，那么EOBD四点共圆，但是角EBO+角EDO=40+60!=180，也就是说这4点不共圆，也就是说B在OE的中垂线上，所以BD就是OE的中垂线，BD平分角ODE，角EDB=1/2角ODE=30度。”
“最后一个方法想的是往外扩展，辅助线比较大气，也比较漂亮，看得也舒服。”
“第八个方法是作C关于AB的对称点F，B关于AC的对称点G，连接三角形AFG，连接EF，DG。构造一个大等边三角形。”
“由于对称的性质，AB=AC=AF=AG，然后角FAG=3*角BAC=60度，三角形AFG是等边三角形。”
“然后我们来想办法证明DEF三点共线。首先，角BFG=角AFB-角AFG=80-60=20度，角EFG=角EFB-角BFG=50-20=30度，即EF平分角AFG。然后再由对称的性质，DG=DB=DA，由等边三角形的性质可知D也在角AFG的中垂线上，那么我们就得到了FED三点共线，角EDB=角FEB-角EBD=角FAE+角AFD-角EBD=20+30-20=30度。”
“完了兄弟们，讲了道题贵宾跑了一半，一看时间一个小时已经过去了，下次不讲了兄弟们。”范珏停笔，拿起水杯。
“别”“就讲这个大家爱看”“再来一节课的”“666666”弹幕都表现出了极高的学习热情。
中奖的兄弟刷了一个告白灯牌上面写着“NB”。
“谢谢兄弟的告白灯牌……这样吧，这本书还是寄给你，这道题算我数学SOLO赢你怎么说，之前定的是SOLO赢我得500，现在只剩一个小时了。这样吧，想打SOLO的加我游戏好友，我拿元歌你随便，地图你挑，你赢了我给你1000，我赢了你给我送个6块钱的血瓶怎么说，我按照段位高低选，优先选厉害的。”
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